Daimi polyhedra: elementləri simmetriya və ərazi

həmişə aydın deyil cəbr fərqli olaraq niyə və nə hesab edirəm ki, bir vizual obyekt verir, çünki həndəsə gözəl. müxtəlif orqanlarının Bu gözəl dünya müntəzəm polyhedra bəzəyir.

müntəzəm polyhedra haqqında ümumi məlumat

onlar Platonik bərk deyilir kimi bir çox müntəzəm Çoxüzlülər görə, və ya, unikal xüsusiyyətləri vardır. bu obyektlərin bir sıra elmi fərziyyələr bağlı ilə. Əgər bədənin həndəsi məlumatları öyrənmək başlamaq zaman, demək olar ki, müntəzəm polyhedra kimi anlayış haqqında bir şey bilmirəm ki, həyata. məktəb bu obyektlərin təqdimat həmişə maraqlı deyil, belə ki, bir çox hətta onlar adlanır nə xatırlamıram. ən insanların xatirəsinə yalnız bir kub edir. bədən həndəsə heç müntəzəm Çoxüzlülər kimi kamillik malik deyil. Bu həndəsi orqanlarının Bütün adları qədim Yunanıstan çıxdı. Onlar simalar sayı təmsil: tetrahedron - dörd tərəfli, altıtərəfli - Allen, səkkizüzlü - Octagon, dodecahedron - dodecahedral, Icosahedron - icosahedral. Bu həndəsi bədənin bütün kainatın Platon konsepsiyasında mühüm yer tutur. - yanğın, Icosahedron - su kub - torpaq, səkkizüzlü - hava tetrahedron Onların dörd elementləri və ya şəxslər təcəssüm olunur. Dodecahedron hər şeyi təcəssüm. O, kainatın rəmzi kimi əsas hesab edilmişdir.

bir polyhedron anlayışının ümumiləşdirilməsi

Polyhedron çoxbucaqlı belə məhdud toplusudur:

• çoxbucaqlı hər hansı bir tərəfin hər eyni zamanda eyni tərəfdə başqa poliqon yalnız bir tərəfi edir;
• Siz çoxbucaqlı ona bitişik keçərək digər gəzmək olar çoxbucaqlı hər.

qabırğa - polyhedron təşkil Çoxbucaqlı onun üzünə və yanlarına yan təmsil edir. polyhedra vertices çoxbucaqlı təpə. müddətli poliqon düz qapalı Polylines anlamaq, onda bir polyhedron biri müəyyən gəlir. Bu müddət sınıq xətləri ilə həmsərhəddir təyyarə bir hissəsi nəzərdə tutulur halda, bu çoxbucaqlı ədəd ibarət səthi aydın olacaq. Convex polyhedron onun üzünə bitişik təyyarə bir tərəfində yalançı orqanı adlanır.

bir polyhedron və onun elementlərinin digər müəyyən

Polyhedron həndəsi bədən məhdudlaşdırır olan çoxbucaqlı ibarət səthi çağırıb. Onlar:

• qeyri-qabarıq;
• qabarıq (doğru və yanlış).

Daimi polyhedron - maksimal simmetriya ilə bir qabarıq polyhedron edir. müntəzəm polyhedra Elements:

• Tetrahedron: 6 qabırğa 4 simalar 5 vertices;
• altıtərəfli (kub) 12, 6, 8;
• dodecahedron 30, 12, 20;
• səkkizüzlü 12, 8, 6;
• Icosahedron 30, 20, 12.

Euler teoremi

Bu kənarları, təpə və simalar sayı arasında əlaqələr topologically bir sahədə bərabər müəyyən edir. təpə və simalar sayı (B + D) var müxtəlif müntəzəm polyhedra əlavə və qabırğa sayı ilə müqayisə, bir qayda təyin etmək mümkündür: 2 artaraq təpə və kənarları (P) sayına bərabər simalar sayı cəmi bir sadə formula əldə etmək mümkündür:

• B + D = P + 2.

Bu formula bütün qabarıq polyhedra üçün etibarlıdır.

əsas anlayışlar

müntəzəm polyhedron anlayışı bir cümlə təsvir etmək mümkün deyil. Daha çox qiymətləndirilir və həcmi. A bədən kimi tanınmalıdır, bu anlayışlar bir sıra cavab lazımdır. Belə ki, bir həndəsi bədən bu şərtlərə əməl müntəzəm polyhedron olacaq:

• Bu qabarıq edir;
• qabırğa eyni sayda təpə nöqtələrinin hər converges;
• onun bütün yönlü - birinə bərabər müntəzəm çoxbucaqlı;
• Bütün dihedral açılar bərabərdir.

müntəzəm polyhedra Properties

müntəzəm polyhedra 5 müxtəlif növləri vardır:

1. Cube (altıtərəfli) - bu, düz APEX bucaq 90 ° var. Bu 3-tərəfli bucaq var. Məbləğ üz 270 ° APEX açılar.
2. Tetrahedron - 60 ° - düz APEX bucaq. Bu 3-tərəfli bucaq var. 180 ° - məbləği üz APEX açılar.
3. Səkkizüzlü - 60 ° - düz APEX bucaq. Bu dörd qat bucaq var. 240 ° - məbləği üz APEX açılar.
4. Dodecahedron - 108 ° düz APEX bucaq. Bu 3-tərəfli bucaq var. 324 ° - məbləği üz APEX açılar.
5. Icosahedron - 60 ° - bu bir düz APEX bucaq var. Bu beştərəfli bucaq var. Məbləğ üz 300 ° APEX açılar.

müntəzəm polyhedra sahəsi

həndəsi orqanlarının səthinin sahəsi (S) yönlü sayı (G) vurulur müntəzəm poliqon sahəsi kimi hesablanır:

• S = (a: 2) 2G CTG π / p x.

müntəzəm polyhedron həcmi

Bu dəyər baza müntəzəm çoxbucaqlı, simalar sayı bir müntəzəm piramida həcmi vurulması yolu ilə hesablanır və onun hündürlüyü sahəsində (r) və yazılı radius edir:

• V = 1: 3RS.

müntəzəm polyhedra həcmi

hər hansı digər həndəsi bərk müntəzəm polyhedra kimi müxtəlif həcmdə var. Aşağıda onlar hesablamaq bilərsiniz olan düsturlar var:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• səkkizüzlü: α x 3√2: 3;
• Icosahedron; α x 3;
• altıtərəfli (kub) α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

müntəzəm polyhedra Elements

Altıtərəfli və səkkizüzlü ikili həndəsi orqanları. Başqa sözlə, onlar bir centroid digər üst və əksinə kimi qəbul edilir ki, tədbirdə bir-birinə həyata əldə edə bilər. Həmçinin ikili Icosahedron və dodecahedron var. Özü yalnız tetrahedron ikili edir. Euclid üsulu görə kub üzüstə "dam" tikintisi ilə bir dodecahedron altıtərəfli əldə edə bilərsiniz. tetrahedron təpə kub hər 4 vertices, köşesinde deyil bitişik cüt var. altıtərəfli (kub) əldə edə bilərsiniz, və digər müntəzəm polyhedra From. Baxmayaraq ki, müntəzəm çoxbucaqlı saysız müntəzəm polyhedra var, yalnız 5 var.

müntəzəm çoxbucaqlı radii

Bu həndəsi orqanlarının hər biri ilə bağlı konsentrik sahələrdə 3 aşağıdakılardır:

• təpə keçən təsvir;
• Bunun ortasında onun simalar hər ilə bağlı yazılmışdır;
• median ortada bütün kənarları dair.

aşağıdakı düsturla təsvir sahəsinin radius hesablanır:

• R a = 2 x tg π / g x tg θ: 2.

aşağıdakı kimi yazılmışdır sahəsində radius hesablanır:

• R a = 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

harada θ - qonşu yönlü arasında dihedral bucaq.

sahəsində orta radius aşağıdakı formula istifadə edərək hesablanır bilər:

• ρ = bir cos π / p: 2 günah π / h,

h 4.6, 6.10, və ya 10 yazılmışdır təsvir radii nisbəti və simmetrik p və q ilə bağlı böyüklüyünü = harada. Bu aşağıdakı kimi hesablanır:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

polyhedra simmetriya

müntəzəm polyhedra simmetriya Bu həndəsi orqanlarına əsas maraq kəsb edir. Bu vertices, üzünə və kənarları eyni sayda yaradır məkanda orqanının hərəkəti kimi başa düşülür. simmetriya təsiri kənar dəyişikliklər altında digər sözlə, vertex və ya üz orijinal mövqeyini saxlayır, və ya başqa bir rib, digər təpə və ya simalar ev vəzifəsinə hərəkət edir.

müntəzəm polyhedra simmetriya elementləri həndəsi bərk bütün növ ümumi. Burada orijinal vəziyyətdə xal hər hansı yaradır şəxsiyyət çevrilməsi üzrə aparılır. Siz çevirmək zaman, çoxbucaqlı prizma bir symmetries əldə edə bilərsiniz. Onlardan hər hansı əks məhsulu kimi təmsil oluna bilər. birbaşa deyilən əks bir daha sıra məhsul Symmetry. Bu əks bir tək sayda məhsul, onda Əlaqə adlanır. Belə ki, xətti ətrafında bütün növbə düz simmetriya təmsil edir. Hər hansı bir əks polyhedron - tərs simmetriya var.

daha müntəzəm polyhedra simmetriya elementləri anlamaq üçün, tetrahedron nümunə bilər. təpə və mərkəzi biri keçəcək istənilən xətti həndəsi formalı, keçiriləcək və bu kənar qarşı mərkəzi vasitəsilə olacaq. xətti ətrafında növbə 120 və 240 ° hər cəm tetrahedral simmetriya məxsusdur. 4 vertices və üzlərini yana, səkkiz birbaşa symmetries ümumi almaq. kənarları ortasında və bədən mərkəzindən keçən xətlərin hər hansı ki, əks kənar ortasında keçir. 180 ° hər hansı fırlanma, bir düz simmetriya ətrafında yarım növbəsində çağırıb. tetrahedron qabırğa üç cüt var, siz simmetriya üç xətləri almaq. yuxarıda əsasında, biz on iki qədər olacaq, şəxsiyyət çevrilməsi o cümlədən ümumi birbaşa simmetriya sayı, və olar. Digər birbaşa simmetriya tetrahedron mövcud deyil, lakin 12 tərs simmetriya var. Nəticədə, yalnız 24 tetrahedron symmetries səciyyələnir. Aydınlıq üçün, biz karton hazırlanmış müntəzəm tetrahedron bir model qurmaq və həndəsi bədən həqiqətən yalnız 24 simmetriya var əmin edə bilərsiniz.

Dodecahedron və Icosahedron - bədən sahəsi yaxın. Icosahedron simalar ən böyük sayı, dihedral bucaq var və ən sıx yazılmışdır sahəsində suvaşmaq bilər. Dodecahedron vertex ən aşağı angular qüsur böyük bərk bucağı var. Bu məhdudlaşdırılır sahəsində doldurmaq üçün maksimize edə bilərsiniz.

scanning polyhedra

biz bütün uşaqlıq birlikdə stuck Daimi polyhedra scan, anlayışlar var. çoxbucaqlı bir sıra varsa, hər tərəfi polyhedron yalnız bir tərəfi ilə müəyyən edilir, tərəflərin müəyyənləşdirilməsi iki şərtlərinə uyğun olmalıdır:

• hər poliqon, yan müəyyən olan poliqon bilərsiniz;
• müəyyən edilə bilən yan eyni uzunluğu olmalıdır.

Bu şərtlərə cavab çoxbucaqlı bir sıra və bir polyhedron scan adlanır. bu orqanların hər Onların bir neçə var. Məsələn, bir kub olan 11 ədəd var.