Xətti tənliklər sisteminin həlli üçün Simple iteration metodu (Slough)

onu aydınlaşdırmaq tədricən vasitəsilə naməlum dəyər dəyərlər tapmaq üçün bir riyazi alqoritm - Sadə iteration üsulu da ardıcıl yaxınlaşma üsulu çağırıb. Bu metodun mahiyyəti adı nəzərdə tutur kimi, tədricən, sonrakı isə ilkin uyğunlaşdırılması dilə gətiririk daha zərif nəticələr olur ki. Bu üsul bir funksiyası dəyişən dəyəri tapmaq üçün istifadə, və tənliklər sistemi həll edir, xətti və qeyri-xətti də.

Bu üsul xətti sistemlərinin həllində həyata necə görmək edək. aşağıdakı kimi sabit-point iteration alqoritmi belədir:

1. ilkin matrix yaxınlaşması şərait yoxlama. A yaxınlaşma teoremi: orijinal sistem matrix çapraz dominant əgər (yəni, əsas diaqonal elementləri hər bir satır mütləq dəyər elementləri yan diagonals cəmindən daha bal gücündə daha olmalıdır), sadə tekrarlamalar üsulu - convergent.

2. orijinal sisteminin matrix həmişə diaqonal üstünlük deyil. Belə hallarda, sistem transformasiya edilə bilər. yaxınlaşma vəziyyəti qane tənliklər, yəni unsatisfying ilə bütöv sol və xətti birləşməsi olun birlikdə qatlanmış tənlik istənilən nəticə çıxarmağa, çoxaltmaq çıxmaq.

əsas diaqonal qəbul sistemi əlverişsiz amillər, onda bu tənlik hər iki tərəf üçün forma şərtləri ilə əlavə olunur _i diaqonal elementləri əlamətləri əlamətləri ilə üst-üstə _{olan, i} x *.

3. normal keçirmək üçün yaranan sistemi Converting:

^{x - = β - + α *} x -

Bu aşağıdakı kimi, məsələn, bir çox yollarla, edilə bilər: ilk tənlik vtorogo- x ₂ digər naməlum vasitəsilə x _{1 bildirmək,} tretego- s x ₃ Beləliklə, biz formula istifadə olunur:

_{α ij = - (a ij /} a ii)

_i = _i b / a _ii
əmin yenidən normal tipli nəticəsində sistem yaxınlaşması vəziyyətinə uyğundur olun:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1, i = 1,2, ... n

4. həqiqətən, istifadə ardıcıl yaxınlaşma üsulu başlayın.

x ⁽⁰⁾ - ilkin uyğunlaşdırılması, biz therethrough x ^(1), x izlədi ⁽¹⁾ express x ifadə ^(2). bir matrix forma ümumi formula belə:

x ^{(N) = β - + α} * x (n- ¹⁾

biz istənilən dəqiqliyi çatmaq qədər, hesablamaq:

_{max | x i (k) -x} i (k + 1) ≤ ε

Belə ki, praktikada sadə iteration üsulu baxaq. Məsələn:
xətti sistemləri həll:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 ε dəqiqliyi ilə = 10 ^-3

modul diaqonal elementləri əgər üstünlük baxın.

Biz yaxınlaşma şərt üçüncü tənlik qane olduğunu görürük. birinci və ikinci, biz iki əlavə ilk tənlik çevirmək:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

üçüncü bir çıxar:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Biz ekvivalentində orijinal sistemi artırdı:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

İndi normal keçirmək üçün sistem azaltmaq:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Biz iterativ proses yaxınlaşması kontrol:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319 = 0.9149 ≤ 1, yəni şərt qarşılanır.

.3947
İlkin uyğunlaşdırılması x ⁽⁰⁾ = 0.4762
.8511

normal növü tənlik bu dəyərləri əvəz, aşağıdakı dəyərləri əldə:

0,08835
x ⁽¹⁾ = 0.486793
0.446639

Ehtiyat yeni dəyərlər, biz almaq:

0.215243
x ⁽²⁾ = 0.405396
0.558336

Biz sizə müəyyən şərait cavab dəyərlərinə yaxın almaq qədər qədər hesablamaq davam edir.

0,18813

x ⁽⁷⁾ = 0.441091

0.544319

0.188002

x ⁽⁸⁾ = 0.44164

0.544428

nəticələrinin düzgünlüyünü yoxlayın:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

orijinal tənlik əldə dəyərlər əvəz ilə əldə edilən nəticələr, tam tənlik təmin.

Göründüyü kimi, sadə iteration üsul kifayət qədər dəqiq nəticələr verir, lakin bu tənlik həll etmək üçün, biz çox vaxt sərf və çətin hesablamalar idi.